Задачи на подобие – 1

Задача 1. Когда Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там все вещи ровно в 12 раз короче, чем на его родине. Сможете ли вы сказать, сколько лилипутских спичечных коробков поместится в спичечный коробок Гулливера?

Задача 2. Население Китая составляет один миллиард человек. Казалось бы, на карте Китая с масштабом 1 : 1 000 000 (1 см : 10 км) сможет поместиться в миллион раз меньше людей, чем находится на всей территории страны. Однако на самом деле не только 1000, но даже 100 человек не смогут разместиться на этой карте. Можете ли вы объяснить это противоречие? (Козлова Е. Г.Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). Издание 2-е, испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2004.)

Обычное неправильное рассуждение при решении первой задачи: Раз все предметы в Лилипутии в 12 раз меньше, то и в спичечный коробок Гулливера поместится 12 лилипутских спичечных коробков. Стоит же наглядно представить (или нарисовать) маленький коробок и в 12 раз увеличенный, как становится понятной ошибка. В спичечный коробок Гулливера поместится 12 лилипутских коробков в ширину, 12 — в длину и 12 — в высоту. Всего 12·12·12 = 1728 коробков. У лилипутского спичечного коробка не только длина, но и ширина и высота меньше в 12 раз, чем у гулливерского. А так как объём коробка равен произведению длины, ширины и высоты, то объём его меньше в 123, т. е. в 1728 раз.

Во второй задаче надо заметить, что речь идёт не о линейных размерах, а о площади, а значит, и число людей надо уменьшить не в 1 000 000, а в 1 000 0002, т. е. в триллион раз.

Геометрическое подобие изучается на уроках геометрии в 9 классе, но уже в 7 классе (на физическом кружке) можно дать ученикам понятие подобных фигур, как фигур одинаковой формы, но разных размеров; у подобных фигур все размеры отличаются в одно и то же число раз (коэффициент подобия), а все пропорции сохранены. Дети хорошо умеют пользоваться графическими редакторами для изменения размеров картинок, фотографий в своих компьютерах и потому легко представляют себе подобные фигуры.

Ученики могут сами показать для простых фигур, площадь которых они умеют вычислять (квадрат, прямоугольник, треугольник, круг…), что если линейные размеры увеличить (уменьшить) в n раз, то площадь фигуры увеличится (уменьшится ) в n2 раз. В геометрии доказывается, что для любой, даже самой сложной по форме фигуры, площадь подобной ей фигуры, т. е. увеличенной или уменьшенной  в n раз, будет отличаться в n2 раз (любую сложную фигуру можно разбить с любой точностью на простые фигуры).

Возвращаясь к первой задаче, можно сказать, что объём любого тела (не обязательно прямого параллелепипеда) при изменении размеров в n раз изменяется в n3 раз.

Например, диаметр большого шара в 5 раз больше диаметра маленького, а объём больше уже в 125 раз.

Задача 3. Отец и сын наблюдали солнечное затмение, и темой их разговоров были Солнце и Луна. «Папа, – спросил мальчик, – а во сколько раз  Солнце дальше от нас, чем Луна?
«Насколько я помню, – отвечал отец, – в 387 раз». «Тогда я могу подсчитать, во сколько раз объём Солнца больше объёма Луны». «Пожалуй. ты прав», – ответил, подумав, отец. Во сколько же раз объём Солнца больше объёма Луны? (Квант для младших школьников, Квант №11, 1983 г.)

Решение (Квант №12, 1983 г.): Ключом к решению этой задачи является тот факт, что видимые (угловые) размеры Солнца и Луны одинаковы, что особенно хорошо наблюдать во время солнечных затмений. Поэтому из подобия следует, что радиус Солнца в 387 раз больше радиуса Луны, а объём Солнца в 3873 раз больше объёма Луны.

Итак, если размеры фигуры или тела изменить в n раз, то площадь фигуры или поверхности тела  изменится в n2 раз, а объём – в n3 раз. Это утверждение насколько просто, настолько и важно, что получило название закона «квадрата-куба». Впервые о нём написал Галилео Галилей в книге «Беседы и математические доказательства двух новых наук». Важным является вопрос о том, как будут меняться физические характеристики при изменении геометрических масштабов физических систем, т.е. геометрически подобных. Это важно в модельном проектировании различных инженерно-строительных сооружений, аэро- и гидродинамике, изучении тепловых процессов.  Так устойчивость зданий и сооружений при любых размерах может быть предсказана путём исследования модели, т.к. не зависит от изменения масштаба.

Устойчивость конструкции можно изучать на моделиРисунок из книги Джеймс Гордон «Конструкции, или почему не ломаются вещи»

«Известно, что средневековые строители использовали модели из гипса или сложенные из камня – если устойчива уменьшенная копия, то будет устойчив и его увеличенный оригинал.»

В обучении физике это позволяет коснуться понятия размерности, а также поговорить о симметрии физических законов при пространственно-временных преобразованиях. На примере первых двух задач можно заметить ученикам, что любая формула для площади любой фигуры должна иметь квадрат характерной длины, а для объёма – куб. Если это не так, то мы сразу, без лишних проверок, можем сказать, что в формуле есть ошибка. Формула для площади фигуры должна давать только квадратные метры, а для объёма тела только кубическите метры. Соответственно, если ищется, например, расстояние, пройденный путь, длина или ширина, то не могут получиться секунды, килограммы или квадратные метры, а только линейные метры, т.е.  метр в первой степени. Так ученики получают первое представление о понятии размерности физической величины.

ostЗадача 4. Останкинская телебашня высотой 530 метров весит 30000 тонн. Сколько будет весить точная модель этой башни высотою 53 см? (Квант для младших школьников, Квант №7, 1972 г., с. 66)

Т.к. размер уменьшили в 530:0,53=1000 раз, то, соответственно, объём башни уменьшится в 10003= 1000000000 раз. Т.к. масса пропорциональна объёму, то она тоже уменьшится в миллиард раз (плотность считаем неизменной). Ответ:  30 г. (Вариант задачи 4: Башня Эйфеля в Париже, 300 м высоты, сделана целиком из железа, которого пошло на нее около 8 000 000 кг. Я желаю заказать точную железную модель знаменитой башни, весящую всего только 1 кг. Какой она будет высоты? Ответ: 1,5 м. Перельман Я.И. ‘Живая математика. Математические рассказы и головоломки’ – Москва: Наука, 1967 – с.160)

Задача 5. Как изменится давление башни (задача 4) на грунт?

p=mg/S.   m уменьшится в 10003 раз, S уменьшится в 10002 раз. Следовательно, давление уменьшится в 1000 раз.

Задача 6. Сколько приблизительно понадобится лилипутов, чтобы уравновесить вес Гулливера? (1728)

Задача 7. Почему физически неправдоподобными являются существа из фильмов-ужасов: люди-великаны или огромного размера насекомые?

Галилей первым хорошо показал, что не могут существовать животные-великаны во всём физически подобные обычным. Если увеличить  все линейные размеры животного или человека, например, в 3 раза, то масса (или вес) увеличится пропорционально кубу, т.е. в 27 раз. Сила мышц и прочность костей зависят от площади их поперечного сечения, следовательно, увеличатся пропорционально квадрату, т.е. только в 9 раз, и смогут выдержать лишь 9-кратную нагрузку. Чтобы выдержать 27-кратную нагрузку, кости и мышцы должны быть непропорционально толще.
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок Галилея. Кость обычной собаки и кость той же прочности для собаки в 3 раза больше. Очевидно, такая собака не будет отличаться той же проворностью, что собака нормальных размеров.

На верхней картинке (афиша американского фильма 1958 года) женщина-великан имеет пропорции обычной женщины. На самом деле такие ноги не смогли бы выдержать её гигантский вес, она не могла бы ступить ни шагу. Потому-то в природе, чем крупнее животное, тем толще его кости, тем более оно грузно и неповоротливо. По этой причине не существует животных сколь угодно большого размера.

Т.к. вес животных увеличивается пропорционально кубу линейных размеров, а сила – пропорционально квадрату, то, чем крупнее животное, тем меньше его относительная сила. Так муравей может поднять вес во много раз превышающий его собственный вес, человек может поднять свой собственный вес, а слон лишь четверть собственного веса. Блоха может прыгать на высоту много превышающую её собственный рост, человек не может прыгнуть выше собственного роста, а слон не может прыгать совсем.


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
В известном фильме Джеймса Кэмерона «Аватар» жители планеты Пандора  (на’ви) имеют рост почти в два раза превышающий человеческий, но при этом стройны и грациозны. Этому есть объяснение. Как упомянуто в фильме, их кости не аналогичны человеческим, а прочнее в три раза из-за естественных углеродных волокон.

Литература:
1. Кузнецов А.П. Как работают и думают физики. Саратов: Гос УНЦ «Колледж», 1994. (Глава 11. Подобие – один из способов узнать зависимость физических величин)
2.  Перельман Я.И. Занимательная механика. Москва1948. (Глава 10. Механика в живой природе)

google.com bobrdobr.ru del.icio.us technorati.com linkstore.ru news2.ru rumarkz.ru memori.ru moemesto.ru

Один ответ to “Задачи на подобие – 1”

  1. Из книги Кузнецов А.П. Как работают и думают физики.
    11. Подобие – один из способов узнать зависимость физических величин

    Подобие – это термин, который известен нам из геометрии. Чтобы получить фигуру, подобную данной, ее можно перефотографировать и напечатать фотоснимок с другим
    увеличением (рисунок).
    Подобие фигур

    Подобие тесно связано с понятием характерного размера. Чтобы полность определить то или иное геометрическое тело, необходимо задать некоторое число параметров – характерных размеров. Число таких характерных размеров может быть существенно разным, оно зависит от «сложности» геометрии фигуры или тела. Например, квадрат будет полностью определен, если задать всего один его размер – длину стороны. Чтобы определить круг, тоже достаточно задать один размер, например, радиус.
    Если фигура характеризуется единственным геометрическим размером, то можно утверждать, что все фигуры этого типа подобны. Например, подобны друг другу все квадраты и подобны друг другу все круги (рисунок).
    Все квадраты подобны друг другу, все круги подобны друг другу

    Также подобны друг другу все кубы и все шары. Пусть теперь, чтобы определить фигуру, надо задать два или больше геометрических размера. Такие фигуры уже не обязательно подобны. Например, не подобны два прямоугольника, показанные на следующем рисунке.
    Эти два прямоугольника не подобны

    Чтобы фигура была подобна какой-либо данной, лишь один из её размеров может быть произвольным. Например, чтобы превратить второй из изображенных прямоугольников в подобный первому, мы можем сохранить его высоту неизменной, но должны подобрать длину так, чтобы она отличалась в n=А/а раз от длины прямоугольника (рисунок).
    Подобные прямоугольники
    Число n=а/А называется коэффициентом подобия.
    В геометрии доказывается, что если размеры подобных фигур отличаются в n раз, то их площади отличаются в п? раз. Идея такого доказательства очень проста. Разобьем одну из фигур на маленькие квадратики. Очевидно, что можно выполнить совершенно аналогичное разбиение на квадратики второй фигуры, только размеры квадратиков будут отличаться в n раз, а их площади – в n 2 раз (рисунок).
    Отношение площадей подобных фигур

    Но площади фигур примерно равны суммарной площади всех целых квадратиков, находящихся внутри фигур. Поскольку количества таких квадратиков для подобных фигур равны, то площади подобных фигур относятся как n2.
    Аналогично этому можно доказать, что если размеры подобных тел отличаются в n раз, то их объемы отличаются в n3 раз.
    Соотношения для площади (n2) и объема (n3) подобных фигур и тел легко запомнить, поскольку в показателе степени стоит размерность пространства. Для плоских фигур она равна двум, для объемных тел – трем. (Кажется удивительным, но сейчас физики и математики решают и такие задачи, когда этот показатель дробный.)
    Термин «подобие» используется не только в геометрических, но и в физических задачах. О физическом подобии говорят обычно в следующей ситуации. Пусть имеется некоторая физическая система, которая характеризуется какой-либо величиной (объемом, весом, периодом колебания и т.д.) Необходимо ответить на вопрос: чему равно значение этой величины для системы, все размеры которой увеличены в некоторое число раз n?
    Такие задачи можно решать двумя способами. Можно просто получить формулу для искомой величины и посмотреть, как изменится интересующая нас величина, а можно поступить и по-другому. Чтобы лучше улетать это, обратимся к примеру. Пусть имеется куб со стороной 2 см, который весит 10 г. Сколько весит куб, изготовленный из того же материала, но со стороной 4 см?
    Подсчитаем объем первого куба. Подучим 8 см?. Подсчитаем объем второго куба. Получим 64 см?. Поскольку кубики изготовлены из одного материала, то их вес пропорционален объему. Следовательно, второй кубик весит 10·(64:8)=8О г. Это правильное решение. Но задачу можно решить и быстрее. Действительно, второй куб «точно такой же, как первый», но все его линейные размеры в 2 раза больше, чем у первого. Это означает, что его объем и вес в 23=8 раз больше, т.е. 80 г.
    На первый взгляд, второе решение не особенно лучше первого. Решим, однако, следующую задачу. Икосээдр со стороной 2 см весит 100 г. Сколько весит икосаэдр со стороной 8 см, изготовленный из того же материала? Для того, чтобы решить эту задачу первым способом, нужно знать, что такое, собственно, икосаэдр? Далее нужно или вывести, или найти в справочнике формулу для объема этого тела, и провести вычисления. Второй же способ почти сразу приводит нас к ответу. Действительно, первый и второй экосаэдр – это геометрически подобные объемные тела. Поэтому сразу можно сказать, что вес второго икосаэдра будет в (8:2)3=64 раза больше.
    Метод подобия в физике часто позволяет быстро получить решение сложной задачи. Ответим, например, на вопрос: какая капля падает в воздухе быстрее – крупная или мелкая?
    Установившаяся скорость падения капли определяется балансом силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Капли разного размера падают с разной скоростью, поскольку сила тяжести зависит от размера капли, а сила сопротивления воздуха зависит от размера капли и ее скорости. Формулу для силы сопротивления воздуха мы с вами пока еще не знаем. Очевидно, однако, что эта сила пропорциональна площади поверхности капли, т.е, пропорциональна R2 где R – радиус капли. Масса же капли пропорциональна объему капли, т.е. R3. Таким обрезом, с ростом размера капли R объём капли растет быстрее, чем её поперечное сечение. Следовательно, сила тяжости растет быстрее силы сопротивления, а значит крупные капли падают быстрее.
    При решении задач из соображений подобия очень эффективен метод размерности. Например, с помощью этого метода мы установили, что период колебания маятника T даётся формулой Период колебаний математического маятника
    Если вас интересует вопрос, во сколько раз отменится период колебаний маятника при изменении длины подвеса l в n раз, то мы вполне можем ответить ва него. Для этого не нужно знать константу С.
    Первым, кто обратил внимание не важность законов подобия в физике, был Галилей. В своей первой книге он задался интересным вопросом: могла ли существовать гигантская собака, подобная нормальной, но, скажем, раз в 10 больше. Галилей сделал наброски рисунков костей такой собаки. Он понял, что вес её возрастет в 103 раз, а площадь костей всего лишь в 102=100 раз. Значит, кости должны быть в 10 раз более толстыми, а обычные кости не выдержат веса гигантской собаки. Галилей считал науку о подобии очень важной наряду с механикой, он так и назвал свою книгу – «Трактат о двух науках».
    В технике метод подобия используют в кораблестроении и самолётостроении. Если сделать маленькие модели кораблей и самолетов, подобрав при испытаниях какие-то другие значения скоростей моделей, то можно оценить свойства будущих самолетов и кораблей. Правила пересчета скорости от реальных самолетов и кораблей к их моделям производят с помощью метода подобия.
    В шутливой форме много интересного о подобии писал Я.Б. Перельман, обсуждая книгу Свифта о приключениях Гуливера в Лилипутии и в стране великанов.
    Звдачи
    1. Сколько характерных линейных размеров нужно задать, чтобы полностью определить прямоугольник? Параллелограмм? Параллелепипед? Цилиндр? Конус? Шаровой сегмент? Фотографию, изображенную на первом рисунке в этом разделе?
    2. У вашего товарища имеется набор геометрически подобных конусов. Сколько линейных размеров нужного вам конуса следует сообщить товарщу, чтобы он смог дать этот конус вам?
    3. Сколько характерных линейных размеров нужно задать, чтобы полностью определить, геометрию пружины? Пружина навита из толстой проволоки виток к витку вдоль цилиндрической поверхности. Сколько геометрических размеров надо задать, чтобы
    выделить одну пружину из семейства геометрически подобных пружин?
    4. Длина основания равнобедренного треугольнике 3 см, а боковой стороны 4 см. Чему равна высота, опущенная на основание, у подобного ему треугольника с коэффициентом подобия 3? Проделайте вычисления двумя способами.
    5. Ребро одного куба равно 2 см, а диагональ второго равна 6 см. Чему равен коэффициент подобия?
    6. Установите экспериментально, как зависит от линейного размера фигуры её площадь. Оборудование: несколько подобных фигур сложной формы, вырезанных из бумаги; весы.
    7. Как зависит от линейного размера объём подобных друг другу тел? Посмотрите по справочнику дома формулы для объёма разных тел: цилиндров, конуса и т.д. и проверьте свои соображения.
    8. Предположим, что все размеры стальной проволоки изменили в n раз. Во сколько раз изменится:
    а) объём?
    б) масса?
    в) площадь поверхности?
    г) коэффициент жёсткости?
    д) разрывное напряжение?
    9. После семи стирок линейные размеры куска мыла уменьшились вдвое, то есть вдвое уменьшились его ширина, длина и высота.На сколько стирок его ещё хватит?
    10. Оцените длину шкурки, которую снимают, почистив килограмм картошки. Считайте, что картофелины имеют форму шара радиуса R=3 см. Ширину шкурки примите равной 1 см. Во сколько раз изменится длина снятой шкурки, если размер каждой картофелины в n раз меньше? Килограмм какой картошки можно быстрее почистить: крупной или мелкой?
    11. Имеются два клубка, намотанные из одинаковой шерстяной нити. Один из них в n раз больше другого. Во сколько раз длиннее нить, из которой он намотан?
    12. После того, как человек вышел из воды после купания, на его коже осталось около 200 г воды. Оцените, какой процент веса Дюймовочки ростом 2,5 см составит вода после купания.
    13. Резервуар для воды имеет прямоугольную форму и укреплен над поверхностью земли на четырех столбах даиметром 2 см. Если изготовить резервуар в 10 раз длинее, шире и выше, то каков должен быть диаметр столбов?
    14. Модель крана поднимает 10 бетонных плит, а с 11 плитами трос рвется. Сколько плит поднимет реальный кран, если все линейные размеры модели (включая, разумеется, и размер плит) увеличить в 10 раз?
    15. Кости ног некоторого животного в n раз прочнее костей другого, принадлежащего тому же семейству и имеющего ту же форму. Каково отношение ростов этих животных?
    16. Великан и лилипут устроили соревнование: кто больше подтянется на перекладине. Кто выиграет и почему?
    17. В лесу живут два подобных друг другу существа, причем все размеры одного в 10 раз больше. Крупное существо весит 50 кг, питается 3 раза в день и съедает за сутки 1 кг пищи.
    Сколько весит второе существо? Сколько пища оно съедает в день? Сколько раз в день оно питается? Считайте, что существа ведут не очень активный образ жизни, и почти вся энергия, которую они получают при переваривании пищи, идет на поддержание теплового баланса с окружающей средой. Потери тепла пропорциональны площади поверхности тела.
    16. Имеются две геометрически подобные пружины, причем все линейные размеры второй в n раз больше. Коэффициент жесткости первой пружины равен к. Чему равен коэффициент жесткости второй пружины? Упругие свойства материалов характеризуются модулем Юнга Е, имеющим размерность Н/м?.

Оставьте комментарий