Задачи на подобие – 2

Построили точную уменьшенную копию механического будильника. Будет ли новый будильник идти так же?

Задача 8. Есть два котла, большой и малый, одинакового материала и формы, наполненные кипятком. Какой остынет скорее?

«Вещи остывают главным образом с поверхности: следовательно, остынет скорее тот котел, в котором на каждую единицу объема приходится большая поверхность. Если один котел в n раз выше и шире другого, то поверхность его больше в n2 раз, а объем – n3; на единицу поверхности в большом котле приходится в n раз больший объем. Следовательно, меньший котел должен остыть раньше. [Для большей наглядности можно записать, например, отношение площади поверхности к объёму для куба, ребро которого равно L, и для куба в n раз больше - 6/L и 6/nL].
По той же причине и ребенок, стоящий на морозе, должен зябнуть больше, чем одинаково одетый взрослый: количество тепла, возникающего в каждом куб. см тела, у обоих приблизительно одинаково, но остывающая поверхность тела, приходящаяся на каждый куб. см, у ребенка больше, чем у взрослого.» (Перельман Я.И. ‘Живая математика. Математические рассказы и головоломки’ – Москва: Наука, 1967)

Задача 9. Почему, чем меньше теплокровное животное, тем чаще и больше (относительно своего веса) оно ест?

Задача 10. Почему у млекопитающих частота сокращения сердца тем выше, чем меньше животное?

Т.к. у небольших теплокровных животных (мыши, колибри) отношение площади поверхности к объему организма большое по сравнению с таким же отношением у более крупных животных, то они имеют относительно больший контакт с окружающей средой, следовательно теряют больше энергии в виде тепла. Чтобы восполнить потери энергии, они вынуждены постоянно двигаться в поисках еды, и их ежедневный объем потребляемой пищи может составлять более одной трети их собственного веса.  Биохимические процессы в организме таких животных должны протекать быстрее, а для этого необходимо больше кислорода и питательных веществ клеткам, соответственно увеличивается скорость тока крови за счет увеличения частоты сердечных сокращений.

Почему у слона большие уши?Задача 11. Почему у слона большие уши?

Для крупных животных, живущих в жарких странах, существует обратная проблема – не сберечь тепло, а, наоборот, увеличить теплоотдачу. Теплоотдача в основном происходит с поверхности тела, которой у слона «мало» в пересчёте на единицу массы (объёма), поэтому эта поверхность увеличена за счёт больших ушей, которыми слон машет, охлаждая ветерком проходящую по кровеносным сосудам горячую кровь. То есть большие уши нужны слону вовсе не для того, чтобы лучше слышать. (Дополнительный вопрос: Почему кожа слона вся покрыта складками, морщинами?)

Механические часы бывают двух видов: маятниковые и балансовые. В маятниковых часах колебательной системой является маятник. Обычно это настенные часы «ходики» и напольные часы.  В балансовых часах колебательной системой является спираль (волосок) с прикреплённым к ней колесом. Это обычно наручные или настольные часы. Ход часов определяется периодом колебаний маятника или баланса.

Задача 12. Изготовили точную уменьшенную (или увеличенную) копию механических часов с балансом. Будут ли эти часы идти быстрее по сравнению с оригиналом, будут отставать или будут идти так же?

Задача 13. Изготовили точную уменьшенную копию маятниковых часов. Будут ли они идти быстрее, медленнее или так же?  (Если длину математического маятника уменьшить в n раз, то как изменится период его колебаний?)

В справочной литературе найдём формулу для периода колебаний баланса:Период колебаний баланса часов

m- масса баланса, r- радиус баланса, L – длина спирали, E – модуль упругости, b – ширина спирали,  h- толщина спирали.

При уменьшении или увеличении размеров колебательной системы в n раз модуль упругости E не изменится, т.к. зависит только от войств материала, m изменится в n3 раз, r, L, b, h – в n раз. Новый период колебаний будет меньше в n раз, т.е. часы будут идти быстрее. Для увеличенных часов, наоборот, период будет в n раз больше, т.е. часы будут идти медленнее.

Для маятниковых часов воспользуемся известной формулой для периода колебаний математического маятника:

Период колебаний математического маятника

, из которой видно, что период колебаний уменьшится в sqrt раз при уменьшении длины маятника в n раз, то есть часы будут идти быстрее.

Наверное, многие из нас задумывались, что если бы вдруг мы чудесным образом уменьшились в несколько раз, и одновременно уменьшилось бы всё вокруг во столько же раз, то мы ничего бы не заметили, всё осталось бы по-прежнему. Решённые задачи заставляют нас в этом усомниться. Действительно, мы могли бы дальше и выше прыгать, поднимать больший груз и стали бы чаще и больше есть, чтобы утолить голод. То же самое при увеличении размеров – мы почувствовали бы сильную тяжесть и слабость. Но всё же разберём этот вопрос чуть подробнее.

В физике рассматривают некоторые симетрии, то есть такие пространственные, временные и другие изменения, которые не меняют физических законов, не влияют на физические явления. Например, мы можем совершить параллельный перенос некоторой физической системы в пространстве на несколько метров – это никак не скажется на протекании физических процессов, мы не заметим изменений (если, конечно, перенесено всё относящееся к физической системе). Например, на демонстрационном столе и на ученическом столе один и тот же опыт должен дать один и тот же результат.

«Возьмём в качестве иллюстрации закон всемирного тяготения, утверждающий, что сила взаимного притяжения двух тел обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними… Возьмем теперь два тела, скажем, планету, вращающуюся вокруг Солнца, и перенесем эту пару в другую часть Вселенной. Расстояние между ними, естественно, не изменится и, следовательно, не изменяется и действующие между ними силы. Более того, в новой ситуации сохранится и скорость движения и все пропорции происходящих изменений, и в одной системе все будет происходить точно так же, как и в другой. Уже то, что в законе всемирного тяготения используется «расстояние между двумя телами», а не какое-то расстояние до центра Вселенной, показывает, что этот закон допускает переносы в пространстве.
Вот в этом и заключается одна из симметрии физических законов — симметрия относительно пространственных переносов.» (Фейнман Р. Характер физических законов: Пер. с англ.— 2-е изд., испр.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.—160 с—(Б-чка «Квант». Вып. 62.)

Другая симметрия – относительно временных переносов. В понедельник и в пятницу явления протекают одинаково (конечно, если мы меняем только время, то есть нет ни магнитных бурь, ни изменений солнечной активности, ни повышения или понижения температуры, атмосферного давления и  прочих существенных для данного явления изменений). Ещё одна известная симметрия - принцип относительности Галилея: все явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Это есть симметрия относительно прямолинейного равномерного движения – никакими физическими экспериментами мы не можем обнаружить, движемся мы равномерно и прямолинейно или покоимся.

В решённых нами задачах мы изменяли масштаб физических систем (уменьшали или увеличивали в несколько раз) и смотрели, какие изменения это повлечёт. Является ли масштабное преобразование симметрией? (Как являются симметриями параллельный перенос, временной перенос, прямолинейное равномерное движение.)

Не забудем, что изменять нужно всё относящееся к явлению. Вернёмся к задаче с маятником.

Задача 14. Колебательная система в случае математического маятника состоит не только из маятника, но и притягивающей его планеты, поэтому для полного подобия физических систем нужно изменить масштаб всей колебательной системы, а не только одной его части. Как изменится период колебаний математического маятника, если уменьшить в n раз всю колебательную систему, включая планету?

Выразим g из закона всемирного тяготения: Ускорение свободного падения,

G - гравитационная постоянная, M – масса Земли, R – радиус Земли. При уменьшении радиуса планеты R в  n раз, масса планеты M уменьшится в n3 раз. Ускорение свободного падения g уменьшится в n раз.

Период колебаний математического маятника
l уменьшится в n раз и g уменьшится в n раз. Период колебаний не изменится.

См. также Задачи на подобие – 1

Продолжение следует.

google.com bobrdobr.ru del.icio.us technorati.com linkstore.ru news2.ru rumarkz.ru memori.ru moemesto.ru

Оставьте комментарий