Задачи на подобие – 3

Задача 15. Представим фантастически-сказочную ситуацию, что некая планета и её обитатели стали в 10 раз меньше (или что это произошло с нами и нашей собственной планетой). Изменения размеров тел жители планеты не заметят, так как пропорционально уменьшатся они сами и уменьшатся все измерительные линейки. Каким будет численное значение измеренной ими гравитационной постоянной? Заметят ли они случившееся уменьшение масштаба по результатам этого измерения?

Согласно физическому смыслу гравитационной постоянной, надо измерить силу притяжения двух тел, массой в один килограмм каждое, находящихся на расстоянии 1 метр друг от друга.
Ясно, что значение гравитационной постоянной будет зависеть от того, как изменятся (и изменятся ли) по абсолютному значению при изменении масштаба единицы метра, килограмма, секунды (единица силы ньютон выражается через метр, килограмм и секунду).

Ситуация в задаче, конечно, гипотетическая, поэтому есть простор для фантазии и допущений, в зависимости от которых мы получим разные ответы. Это означает, что данная задача не предполагает получения от школьников определённого, строго однозначного ответа, но может служить материалом для свободного обсуждения (своего рода исследования) на занятии физического кружка или факультативе. Так, например, мы не знаем, как изменится субъективное ощущение времени уменьшившихся людей, будет ли их «прежняя» секунда (оценочно, время между двумя ударами сердца) казаться маленьким человечкам длиннее их «новой» секунды (см. задачу 10).

Рассмотрим несколько случаев.

1) Пусть метр отмеряют по линейке, которая уменьшилась в 10 раз (или, что то же самое, по эталону метра, который уменьшился в 10 раз), а килограмм определяют по эталону килограмма, который уменьшился по сравнению с нашим в «10 в кубе» раз. Предположим, что секунду отмеряют с помощью уменьшившихся в 10 раз механических часов с балансом и, как показано в задаче 12, эта секунда станет короче в 10 раз.

Давайте сначала посчитаем силу притяжения между двумя телами массой по 0,001 кг на расстоянии 0,1 м в «обычных»,»наших» ньютонах (или, что то же самое, узнаем, во сколько раз изменится сила притяжения двух тел, если их массы уменьшить в 103 раз и расстояние между ними уменьшить в 10 раз; из формулы закона всемирного тяготения видно, что сила притяжения станет меньше в 104 раз).
Запишем это значение: 6,67·10-15 Н.
Теперь осталось выяснить, сколько в «нашем» одном ньютоне содержится «их» ньютонов. Гипотетические человечки определяют единицу силы (1 ньютон) так же, как и мы – из второго закона Ньютона: Один ньютон – это сила, изменяющая за 1 с скорость тела массой 1 кг на 1 м/с в направлении действия силы. Таким образом, 1 Н = 1 кг·м/с2.
Если килограмм стал в 1000 раз меньше, метр – в 10, и секунда уменьшилась тоже в 10 раз, то ньютон уменьшится в 100 раз.
Поделим 10000 на 100. Получим, что значение гравитационной постоянной на уменьшившейся планете у уменьшившихся людей будет в 100 раз меньше, т. е. 6,67·10-13 Н·м2/кг2.

2) Пусть метр, килограмм и секунда определяются так, как это установлено сегодняшними международными соглашениями. Открываем справочник и читаем: Секунда есть время, равное 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. Метр — это длина пути, проходимого светом в вакууме за (1 / 299 792 458) секунды. Килограмм есть единица массы, равная массе международного прототипа килограмма. Международный прототип (эталон) килограмма хранится в Международном бюро мер и весов (расположено в Севре близ Парижа) и представляет собой цилиндр диаметром и высотой 39,17 мм из платино-иридиевого сплава (90 % платины, 10 % иридия).

Очевидно, секунда и метр по своему абсолютному значению останутся прежними, эти единицы не меняются при масштабных преобразованиях. Международный эталон килограмма станет в 1000 раз меньше, если его просто взять из хранилища (и тогда измеренное значение гравитационной постоянной окажется другим – можно отдельно посчитать). Если же изготовить новый эталон с теми же численными размерами, то, очевидно, при не изменившейся единице длины он будет полностью соответствовать сегодняшнему, и тогда численное значение измеренной гравитационной постоянной останется тем же.

Мы видим, что если единицы массы, длины и времени определить через физические величины, не меняющиеся при изменении пространственного масштаба, то и численное значение гравитационной постоянной не будет изменяться при таком изменении. Современные определения секунды и метра «не чувствительны» к масштабным преобразованиям. Теоретически имеет смысл определять таким же образом и единицу массы – не через эталон, а через абсолютные, фундаментальные физические характеристики, не изменяющиеся при масштабном преобразовании (можно рассказать учащимся о намерении Международного комитета мер и весов поменять способ определения единицы массы, чтобы килограмм определялся, как и метр с секундой, через фундаментальные физические свойства материи, и предложить учащимся подумать о том, какой бы удобный способ определения единицы измерения массы предложили они).

3) Рассмотрим случай, похожий на первый, – когда эталоны длины и массы определены из геометрических соображений (метр, таким образом, станет в 10 раз короче, а килограмм в 1000 раз меньше), но секунду определим из гравитационно-геометрических соображений, а именно – как полупериод колебаний так называемого секундного маятника. Секундным маятником называется обычный «математический маятник» (маленький грузик на длинной нити), у которого время отклонения груза от одного крайнего положения до другого равно одной секунде (период колебаний равен 2 секундам). Для стандартного значения ускорения свободного падения длина нити такого маятника должна быть 0,994 метра.
Как показано в задаче 14, при уменьшении планеты вместе с маятником, период колебаний маятника не изменится и абсолютное значение секунды, таким образом, останется тем же.
Задача решается аналогично первому случаю: сначала найти силу притяжения между одно-граммовыми телами на расстоянии 0,1 м в «наших» ньютонах, затем из второго закона Ньютона найти, во сколько раз станет меньше на уменьшившейся планете единица силы ньютон (»наш» ньютон – это сила, сообщающая телу массой один килограмм ускорение один метр в на секунду в квадрате; «их» ньютон – сила, сообщающая телу массой 0,001 кг ускорение 0,1 м на секунду в квадрате), затем пересчитать найденное значение силы в новых ньютонах.
Результат получается удивительным: измеренное значение гравитационной постоянной будет тем же. Можно сделать важное заключение, что если единицы длины, времени и массы определять только из геометрических и гравитационных соображений, то численное значение гравитационной постоянной при изменении масштаба не меняется.

Задача 16. Какой была бы продолжительность года, если бы при неизменной плотности все линейные размеры в Солнечной системе уменьшились в два раза?

Воспользуемся вторым законом Ньютона для движения Земли вокруг Солнца:

001

002

003

004

Из последнего уравнения выражаем период:

005

006

007

Если ρ = const, то T = const;

008

Ответ: период обращения Земли останется неизменным, равным одному году.

Рассмотрение физических ситуаций в двух последних задачах позволяет предположить, что для явлений гравитации (тяготения) изменение масштаба является симметрией и никакими экспериментами на основе только лишь гравитации мы не обнаружим изменений масштаба, если при этом, конечно, единицы длины, массы и времени определять только из геометрических и гравитационных соображений. Современная теория тяготения (общая теория относительности – ОТО) является геометрической теорией, в ней тяготение объясняется искривлением пространства-времени массивными телами.

Теперь зададимся вопросом: Почему для остальных рассмотренных нами в задачах явлений изменение масштаба становится заметным, то есть масштабное преобразование не является симметрией?

Прочность, упругость, тепловые процессы, трение, поверхностное натяжение жидкостей - всё это имеет физическую основу во взаимодействии и движении частиц вещества – атомов, молекул, – то есть электромагнитную природу. Изменяя размеры физической системы, мы не меняем пропорционально размеры элементарных составных частей – молекул, атомов (мы этого не можем, да и в природе это, по всей видимости, невозможно). Это всё равно, что собранную из Лего конструкцию строить в уменьшенном масштабе из тех же самых деталей (если, например, дворец был из 200 кубиков Лего, то не получится построить точно такой же уменьшенный дворец из 10 кубиков), свойства новой уменьшенной (или увеличенной) конструкции будут сильно отличаться от свойств первоначальной.

Потому-то по явлениям, в основе которых лежит электромагнитное взаимодействие частиц (а также сильное и слабое, действие которых очень сильно зависит от расстояний), мы можем судить об изменениях в масштабе физических систем. И наоборот, изменяя масштаб физической системы, мы обязательно получим изменения важных физических характеристик.

Для сказочной девочки Арриетти из японского мультфильма капли дождя , размер которых определяется молекулярными силами поверхностного натяжения, будут казаться огромными

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Для сказочной маленькой девочки Арриетти (из японского мультфильма) относительный максимальный размер капли дождя (или росы), определяемый молекулярными силами поверхностного натяжения, будет больше, чем для нас.

Ссылки:

Galileo’s Square-Cube Law

Размеры и свойства живых организмов. Артемьев А.И.

Волгоградская олимпиада школьников «Политехник» 25.03.2012

google.com bobrdobr.ru del.icio.us technorati.com linkstore.ru news2.ru rumarkz.ru memori.ru moemesto.ru

Оставьте комментарий